Правильно пишется "побежу".
Слово "побежу" является формой глагола "бежать" в будущем времени и первом лице единственном числе. Оно обозначает действие, которое будет выполнено в будущем.
Примеры использования слова "побежу":
1. Завтра я побежу в магазин за продуктами.
2. Когда прозвучит стартовый выстрел, я побежу к финишной черте.
3. Если опоздаю на автобус, я побежу догонять его.
Слово "победю" является ошибкой и неправильно написанной формой глагола "победить" в будущем времени и первом лице единственном числе. Глагол "победить" обозначает действие победы над кем-то или чем-то.
Примеры использования слова "победю":
1. Я надеюсь, что в следующем матче я победю своего соперника.
2. В конкурсе поэзии я уверен, что победю своих соперников.
3. Если буду стараться и упорно работать, я победю все трудности.
Таким образом, правильно писать "побежу" в контексте будущего действия, связанного с бегом, а "победю" в контексте действия победы над кем-то или чем-то.