Правильное написание слова "уснуть" или "заснуть" зависит от контекста и грамматических правил. Оба варианта являются правильными и имеют одинаковое значение - они обозначают процесс перехода в состояние сна.
Слово "уснуть" образовано от глагола "спать" и приставки "у-". Префикс "у-" обычно используется для образования глаголов, которые выражают начало действия или состояния. Поэтому слово "уснуть" описывает процесс начала сна.
Слово "заснуть" образовано от глагола "засыпать" и описывает процесс перехода в состояние сна. Глагол "засыпать" означает начало действия подхода к сну, поэтому слово "заснуть" употребляется, когда говорят о том, что кто-то начинает засыпать, переходит в состояние сна.
Таким образом, оба варианта - "уснуть" и "заснуть" являются правильными и эквивалентными друг другу. Выбор между ними зависит от личных предпочтений говорящего и контекста, в котором используется слово.