Правильно пишется "по напрасну".
Выражение "по напрасну" используется для описания действия или затраты усилий, которые оказываются бесполезными или бесцельными. Это выражение говорит о том, что совершенное действие не привело к ожидаемому результату или что потраченные усилия не оказались оправданными. Также оно может описывать ситуацию, когда что-то сделано без нужды или без особого смысла, когда можно было обойтись без этого.
Например, фраза "Он тратит много времени на бесполезные дела, по напрасну" означает, что человек тратит много времени на дела, которые не приносят никакой пользы или результатов.
Использование выражения "по напрасну" позволяет создать яркую картину бесполезности или ненужности действий или затраты усилий. Оно может использоваться как в повседневной речи, так и в письменном тексте, чтобы передать идею тщетности или бесполезности чего-либо.